Question

5．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（可與B、C重合），以AP為直角邊作等腰直角△APE．
（1）求證：BP+DF=PF；
（2）若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，求CE的長(zhǎng)；
（3）作△APE的外接圓⊙M，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)的移動(dòng)距離．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)CB至H，使BH=DF，證明△ABH≌△ADF，得到AH=AF，∠BAH=∠DAF，證明△APH≌△APF中，得到FP=PH，證明結(jié)論；
（2）作EG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，設(shè)BP為x，證明△ABP≌△PGE，得到EG=BP=$\frac{4}{3}$，CG=PG-PC=$\frac{4}{3}$，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）確定點(diǎn)P與B重合和點(diǎn)P與C重合時(shí)，點(diǎn)M的位置，結(jié)合圖形計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖1，延長(zhǎng)CB至H，使BH=DF，
在△ABH和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABH=∠ADF}\\{BH=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∴∠HAP=∠FAP=45°，
在△APH和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠APH=∠APF}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△APF中，
∴FP=PH=HB+PB=BP+DF；
（2）解：如圖2，作EG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，
∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，
∴DF=FC=2，
設(shè)BP為x，則PC=4-x，
由（1）得，PF=x+2，
由勾股定理得，（4-x）²+2²=（x+2）²，
解得，x=$\frac{4}{3}$，
∵∠APE=90°，∠B=90°，
∴∠BAP=∠GPE，
在△ABP和△PGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠GPE}\\{∠G=∠G}\\{AP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PGE，
∴EG=BP=$\frac{4}{3}$，CG=PG-PC=$\frac{4}{3}$，
則CE=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$；
（3）解：∵△APE是直角三角形，
∴點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，
∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)的移動(dòng)距離為$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)定理、正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．