Question

1．如圖，在?ABCD中，OA=OC，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）如果∠BAC=90°，求證：四邊形AECF是菱形；
（3）如果∠AEC=90°，AC=10，CF=8，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，根據(jù)線段的中點的定義，得到AF=$\frac{1}{2}$AD，CE=$\frac{1}{2}$BC，AF=CE，AF∥CE，得到四邊形AECF是平行四邊形；
（2）由三角形的中位線的性質(zhì)得到OE∥AB，得到角相等，證得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）應(yīng)用勾股定理求得CE的長度，得到BC等于CE的2倍．

解答 解：（1）證明：在?ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
又∵AF=$\frac{1}{2}$AD，CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）如圖∵AO=OC，BE=CE，
∴OE∥AB，
∴∠BAC=∠COE，
∵∠BAC=90°，
∴∠COE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形；

（3）由（1）證得：四邊形AECF是菱形，
∴AE=CF=8，
∴CE=$\sqrt{{AC}^{2}{-AE}^{2}}$=6，
∴BC=2CE=12．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理的應(yīng)用，三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．