Question

6．如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么AC為多長時DE的長最��？最小值為多少？

Answer 1

分析 設AC=x，則BC=2-x，然后分別表示出DC、EC，繼而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE長度的表達式，然后利用函數的性質進行解答即可．

解答 解：設AC=x，則BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE²=DC²+CE²=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（2-x）²=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵當x=1時，DE²有最小值=1，
∴DE的最小值=1，
∴AC為1時DE的長最小，最小值為1．

點評 此題考查了二次函數最值及等腰直角三角形，難度不大，關鍵是表示出DC、CE，得出DE的表達式，還要求我們掌握配方法求二次函數最值．