Question

8．在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=2$\sqrt{2}$，PB=1，PD=$\sqrt{17}$，則正方形ABCD的邊長為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 把△APB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′D，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知PA=AP′，DP′=PB，∠PAP′=90°，即可求出PP′的長，利用勾股定理的逆定理證明△PP′D是直角三角形，最后利用余弦定理求出AD的長．

解答 解：作圖如右：
把△APB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′D，連接PP′，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知PA=AP′，DP′=PB，∠PAP′=90°，
即△PAP′為等腰直角三角形，
又知PA=2$\sqrt{2}$，
則PP′=4，
在△PP′D中，
P′D²=17，PP′²=16，P′D²=1，
則P′D²=PP′²+P′D²，
即△PP′D是直角三角形，
故∠DP′P=90°，
∠DP′A=135°，
在△DP′A中，DP′=1，AP′=2$\sqrt{2}$，
由余弦定理知：cos135°=$\frac{DP{′}^{2}+AP{′}^{2}-A{D}^{2}}{2DP′•AP′}$=$\frac{1+8-A{D}^{2}}{2×1×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：AD=$\sqrt{13}$，
正方形ABCD的邊長為$\sqrt{13}$，
故答案為$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理、勾股定理逆定理的應用，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．