Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA₁B₁C的對角線A₁C和OB₁交于點M₁；以A₁M₁為對角線作第二個正方形A₂A₁B₂M₁，對角線A₁M₁和A₂B₂交于點M₂；以A₁M₂為對角線作第三個正方形A₃A₁B₃M₂，對角線A₁M₂和A₃B₃交于點M₃；…依此類推，這樣作的第n個正方形對角線交點M_n的坐標(biāo)是（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)找出M₁、M₂、M₃的坐標(biāo)，根據(jù)其橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可找出點M_n的坐標(biāo)為（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$），此題得解．

解答 解：∵正方形OA₁B₁C的邊長為1，對角線A₁C和OB₁交于點M₁，
∴點M₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
∵以A₁M₁為對角線作第二個正方形A₂A₁B₂M₁，對角線A₁M₁和A₂B₂交于點M₂，
∴點M₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$）；
∵以A₁M₂為對角線作第三個正方形A₃A₁B₃M₂，對角線A₁M₂和A₃B₃交于點M₃，
∴M₃（$\frac{7}{8}$，$\frac{1}{8}$）．
∵$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$=1-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{7}{8}$=1-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$，
∴M_n（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$）．
故答案為：（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$）．

點評 本題考查了規(guī)律型中點的坐標(biāo)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)部分點M_n的坐標(biāo)的特點找出變化規(guī)律“M_n（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$）”是解題的關(guān)鍵．