Question

8．如圖，在直角坐標系中，拋物線y=x²+bx-3與x軸交于A、B兩點，與y軸于點C，頂點為M，已知A（-1，0）．
（1）求頂點M的坐標（1，-4）．
（2）求A、B兩點兩點間的距離；
（3）拋物線上是否存在有一動點D，使S_△ABD=S_△ABC，若存在，求出點D的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）代入y=x²+bx-3，得b=-2，利用配方法或公式法即可求出頂點坐標．
（2）對于拋物線y=x²-2x-3，令y=0，得到x²-2x-3=0，解得x=-1或3，可得A（-1，0），B（3，0），由此即可解決問題．
（3）存在．如圖，設D（m，n），由S_△ABD=S_△ABC，得$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×4×|n|，推出n=±3，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=x²+bx-3，得0=1-b-3，
∴b=-2，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點M坐標（1，-4），
故答案為（1，-4）．

（2）對于拋物線y=x²-2x-3，令y=0，得到x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=OA+OB=4．

（3）存在．理由：如圖，設D（m，n）．

∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×4×|n|，
∴|n|=3，
∴n=±3，
當n=3時，m²-2m-3=3，解得m=1±$\sqrt{7}$，
∴D₂（1-$\sqrt{7}$，3），D₃（1+$\sqrt{7}$，3），
當n=-3時，n²-2n-3=-3，解得m=0或2，
∴D₁（2，-3），
綜上所述，滿足條件的點D坐標為（1-$\sqrt{7}$，3）或（1+$\sqrt{7}$，3）或（2，-3）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學會利用配方法或公式法求頂點坐標，學會用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．