Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$交直線y=kx（k＞0）于點B，平行于y軸的直線x=7交它們于點A、C，且AC=15．
（1）求k的值；
（2）∠OBC的度數(shù)；
（3）若正方形的四個頂點恰好在射線AB、射線CB及線段AC上，請直接寫出射線AB上的正方形頂點的坐標(biāo)．（不需要寫出計算過程）．

Answer 1

分析 （1）把x=7代入直線解析式求出y的值，確定出AC的長，即可求得A的坐標(biāo)，
（2）把A坐標(biāo)代入y=kx中求出k的值，根據(jù)兩向量乘積為-1得到兩直線垂直，即可得出所求角的度數(shù)；
（3）聯(lián)立兩直線方程求出B坐標(biāo)，利用勾股定理表示出OB，AB，BC，設(shè)正方形邊長為x，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AFE與三角形ABC相似，由相似得比例求出x的值，作FG垂直于x軸，得到三角形FOG與三角形AOC相似，由相似得比例求出FG的長，確定出F坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，中令x=7，則y=-$\frac{1}{2}$×7+$\frac{5}{2}$=-1，
∵AC=15，
∴A的縱坐標(biāo)是14，
則A的坐標(biāo)是（7，14），
（2）把A（7，14）代入y=kx得：7k=14，
解得：k=2，
∵2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∴直線AB和BC垂直，
∴∠OBC=90°；
（3）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B的坐標(biāo)是（1，2），
根據(jù)勾股定理得：0B=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（7-1）^{2}+（14-2）^{2}}$=6$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{（7-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
設(shè)正方形BDEF的邊長是x，
∵∠AFE=∠ABC=90°，∠FAE=∠BAC，
∴△AFE∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$，即$\frac{x}{3\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}-x}{6\sqrt{5}}$，
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∴OF=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，OA=$\sqrt{{7}^{2}+1{4}^{2}}$=7$\sqrt{5}$，
作FG⊥x軸于點G，
∵FG∥AH，
∴△FOG∽△AOH，
∴$\frac{FG}{AH}$=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{3\sqrt{5}}{7\sqrt{5}}$=$\frac{3}{7}$，
∴FG=$\frac{3}{7}$AH=$\frac{3}{7}$×14=6，即F的縱坐標(biāo)是6，
把y=6代入y=2x得：x=3，
則F的坐標(biāo)是（3，6）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直線互相垂直的條件，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，求得正方形BDEF的邊長是關(guān)鍵．