Question

9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=$\frac{2}{3}$，把這個(gè)直角三角形繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到Rt△FEC，其中點(diǎn)E正好落在AB上，EF與AC相交于點(diǎn)D，那么$\frac{AE}{EB}$=$\frac{9\sqrt{5}-20}{4}$，$\frac{AD}{FD}$=$\frac{9\sqrt{5}-20}{3}$．

Answer 1

分析 過(guò)C作CG⊥AB于G，根據(jù)已知條件設(shè)BC=2，AB=3，由勾股定理得AC=$\sqrt{5}$，由射影定理得CB²=BG•AB，得到BG=$\frac{4}{3}$，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=BC=2，F(xiàn)C═AC=$\sqrt{5}$，∠F=∠A，根據(jù)勾股定理得到EG=$\sqrt{C{E}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，根據(jù)根于是矩形的性質(zhì)得到BE=$\frac{4\sqrt{5}}{4}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：過(guò)C作CG⊥AB于G，
∵cosB=$\frac{2}{3}$，
設(shè)BC=2，AB=3，由勾股定理得AC=$\sqrt{5}$，
由射影定理得CB²=BG•AB，
∴BG=$\frac{4}{3}$，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=BC=2，F(xiàn)C═AC=$\sqrt{5}$，
∠F=∠A，
∴EG=$\sqrt{C{E}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，BG=EG，
∴BE=$\frac{4\sqrt{5}}{4}$，
∴AE=3-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，$\frac{AE}{EB}$=$\frac{3-\frac{4\sqrt{5}}{3}}{\frac{4\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{9\sqrt{5}-20}{4}$，
∵∠FDC=∠ADE，
∴△ADF∽△FDC，
∴$\frac{AD}{FD}$=$\frac{AE}{CF}$=$\frac{3-\frac{4\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{9\sqrt{5}-20}{3}$，
故答案為：$\frac{9\sqrt{5}-20}{4}$，$\frac{9\sqrt{5}-20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答．