Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點E，過點E作直線與AF垂直，交AF延長線于點D，交AB延長線于點C．
（1）判斷CD是否是⊙O的切線，并說明理由．
（2）若∠C=30°，⊙O的半徑為1，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）先證OE∥AD，得出∠ADC=∠OEC，再由AD⊥CD，證出OE⊥CD，即可得出結(jié)論；
（2）由∠C=30°，得出OC=2OE=2，AC=3，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AD，然后運用銳角三角函數(shù)即可得出DE．

解答 解：（1）CD是⊙O的切線；
理由如下：連結(jié)OE，如圖所示：
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
又∵∠DAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∴∠ADC=∠OEC，
∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OEC=90°，
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠OEC=90°，∠C=30°，
∴OC=2OE=2，
∴AC=3，
又∵∠ADC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，∠DAC=60°，
∵∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAC=30°，
∴DE=AD•tan30°=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定、平行線的判定、含30°的直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的運用；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．