Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）．若△CEF與△ABC相似，則AD的長為$\frac{18}{5}$或5．

Answer 1

分析 若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CE：CF=3：4，如圖1所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；②若CF：CE=3：4，如圖2所示．由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點．

解答 解：若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：
①若CE：CF=3：4，如圖1所示．
∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB．
由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD=AC•cosA=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$；
②若CF：CE=3：4，如圖2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴D點為AB的中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5．
故答案為：$\frac{18}{5}$或5．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理和，難度適中，運用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．