Question

20．各邊相等且各個(gè)內(nèi)角相等的三角形稱(chēng)為等邊三角形．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．
（1）填空：∠ACB=60度；
（2）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：△ADC≌△BEC；
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都等于60°進(jìn)行解答；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，可以得出△ACD≌△BCE，進(jìn)而得到∠CBE=∠CAD=30°，據(jù)此得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°；
故答案為：60；

（2）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°，
理由如下：∵AD為等邊三角形的高，
∴∠AMC=∠AMB=90°，∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，∠ACB=60°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，則
∠ABE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°

②當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°．
綜上所述，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，∠AOB為定值60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．