Question

11．定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑，即損矩形外接圓的直徑．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，點(diǎn)D是菱形ACEF對(duì)角線的交點(diǎn)，連接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=2$\sqrt{3}$，則菱形ACEF的面積為12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先取AC的中點(diǎn)G，連接BG、DG，再根據(jù)∠ADC=90°，∠ABC=90°，判斷出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，點(diǎn)G是圓心；然后求出∠BGD=90°，即可判斷出△BGD是等腰直角三角形；最后解直角三角形，分別求出AD、CD的值，再根據(jù)三角形的面積的求法，求出菱形ACEF的面積為多少即可．

解答 解：如圖1，取AC的中點(diǎn)G，連接BG、DG，，
∵四邊形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，點(diǎn)G是圓心，
∴∠ACD=∠ABD=90°-∠DBC=90°-60°=30°，
∵∠AGB=15°×2=30°，∠AGD=30°×2=60°，
∴∠BGD=30°+60°=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG=DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{6}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$，
∴AD=2$\sqrt{6}×sin30°=2\sqrt{6}×\frac{1}{2}=\sqrt{6}$，
∴$CD=2\sqrt{6}×cos30°=2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2}$，
∴菱形ACEF的面積為：
3$\sqrt{2}×\sqrt{6}÷2×4$
=$6\sqrt{3}÷2×4$
=$12\sqrt{3}$
故答案為：12$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等； ③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．
（2）此題還考查了圓周角定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
（3）此題還考查了解直角三角形問題，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．