Question

19．在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、AD邊上一點(diǎn)，∠DFC=2∠FCE．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，∠DFC=60°，BE=4，則AF=$4\sqrt{3}-4$．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，∠A=120°，∠DFC=90°，BE=4，求$\frac{AF}{AE}$的值．
（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE=12，CF=13，求$\frac{AF}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）過(guò)E作EG⊥BC，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（3）延長(zhǎng)FE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，再利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行解答．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∠DFC=60°，
∴∠DCF=30°，
∵∠DFC=2∠FCE，
∴∠FCE=∠ECB=30°，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
∴DF=4，
∴AF=$4\sqrt{3}-4$；
故答案為：$4\sqrt{3}-4$；
（2）過(guò)E作EG⊥BC，如圖1：

∵∠DFC=90°，∠DFC=2∠FCE，
∴∠FCE=∠BCE=45°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴BG=2，EG=$2\sqrt{3}$，
∴GC=EG=$2\sqrt{3}$，
∴BC=CD=AB=AD=$2+2\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{1}{2}AD$=1+$\sqrt{3}$，
∴AF=1+$\sqrt{3}$，
∴AE=AB-BE=2+2$\sqrt{3}$-4=2$\sqrt{3}$-2，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$；
（3）延長(zhǎng)FE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖2：

在△AFE與△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠EAF=90°}\\{EB=AE}\\{∠BEM=∠AEF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BME（ASA），
∴BM=AF，ME=EF，
∵∠DFC=2∠FCE，
∴CE是∠FCB的角平分線，
∴CM=CF=13，
在Rt△MEC中，ME=$\sqrt{M{C}^{2}-C{E}^{2}}=\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}=5$，
∵∠EMB=∠EMB，∠EBM=∠EBC=90°，
∴△EMB∽△EMC，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{BM}{BE}=\frac{ME}{CE}=\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查四邊形綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析．