Question

17．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4cm，BC=9cm，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且BF=DE=3cm，連接AF、CE．
（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中：已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC，AD∥CB，再由BF=DE可得AE=FC，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證得結(jié)論；
（2）首先分析出只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，然后利用勾股定理計(jì)算出AF長(zhǎng)，再表示出t秒后PC、AQ的長(zhǎng)，然后可的方程5t-5+6=13-4t，再解即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥CB，
∵BF=DE，
∴AD-DE=CB-BF，
∴AE=FC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．
因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形（如圖），
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，
∵AB=4cm，BF=3cm，
∴AF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5（cm），F(xiàn)C=9-3=6（cm），
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴PC=5t-5+6，QA=13-4t，
∴5t-5+6=13-4t，解得t=$\frac{4}{3}$，
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=$\frac{4}{3}$秒．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形．