Question

7．如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，ME⊥AD且交AC的延長線于E，CE=$\frac{1}{2}$CD，求證：∠ACB=2∠B．

Answer 1

分析 延長EM交AB于F，過B作BG∥EF交AD的延長線于K，交AE的延長線于G，設(shè)AK，EF交于H，連接DG，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAH=∠EAH，推出△AFH≌△AEH，于是得到FH=EH，證得AH垂直平分EF，AK垂直平分BG，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=AG，根據(jù)平行線等分線段定理得到CE=$\frac{1}{2}$CG，等量代換得到CD=CG，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CGD，推出△ABD≌△AGD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：延長EM交AB于F，過B作BG∥EF交AD的延長線于K，交AE的延長線于G，設(shè)AK，EF交于H，連接DG，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAH=∠EAH，
∵M(jìn)E⊥AD，
∴∠AHF=∠AHE，
在△AFH與△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAH=∠EAH}\\{AH=AH}\\{∠AHF=∠AHE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△AEH，
∴FH=EH，
∴AH垂直平分EF，
∴AK垂直平分BG，
∴AB=AG，
∵EF∥BG，BM=CM，
∴CE=$\frac{1}{2}$CG，
∵CE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=CG，
∴∠CDG=∠CGD，
∵∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CGD，
在△ABD與△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{∠BAD=∠GAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AGD，
∴∠ABC=∠AGD，
∴∠ACB=2∠B．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．