Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0，3）為圓心、5為半徑的圓與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C、D（點C在點D的上方），經(jīng)過B、C兩點的拋物線的頂點E在第二象限．
（1）求點A、B兩點的坐標．
（2）當拋物線的對稱軸與⊙M相切時，求此時拋物線的解析式．
（3）連結AE、AC、CE，若tan∠CAE=$\frac{1}{2}$．
①求點E坐標；
②在直線BC上是否存在點P，使得以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結MA，由題意得：AM=5，OM=3，則OA=4，同理得OB=4，從而求得A、B的坐標；
（2）設經(jīng)過B、C兩點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），根據(jù)待定系數(shù)法求得y=ax²+（-4a-2）x+8，從而求得對稱軸x=2+$\frac{1}{a}$，根據(jù)切線的性質列出2+$\frac{1}{a}$=-5，從而求得a的值，進而求得b的值，即可求得拋物線的解析式．
（3）①根據(jù)tan∠ACO=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，tan∠CAE=$\frac{1}{2}$，得出∠CAE=∠ACO，證得AE∥CO，進一步證得點A在拋物線的對稱軸上，因為拋物線y=ax²+（-4a-2）x+8的對稱軸為x=2+$\frac{1}{a}$，所以2+$\frac{1}{a}$=-4，求得a的值，求得解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+8=-6（x+4）²+$\frac{32}{3}$，根據(jù)頂點式即可求得E的坐標；
②連接BM，因為∠PBM=∠CAM，∠CAM=∠ACM=∠EAC，得出∠PBM=∠EAC，所以以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似，存在$\frac{BM}{AE}$=$\frac{PB}{AC}$或$\frac{BM}{AC}$=$\frac{PB}{AE}$兩種情況，對兩種情況分別討論即可求得．

解答 解；（1）如圖1，連結MA，由題意得：AM=5，OM=3，則OA=4，同理得OB=4，
∴點A、點B的坐標分別是（-4，0）、（4，0），
（2）設經(jīng)過B、C兩點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵MC=AM=5，M0=3，
∴c=8，
∵B（4，0）
∴0=16a+4b+8，
∴b=-4a-2；
此時，y=ax²+（-4a-2）x+8（a≠0），
它的對稱軸是直線：x=$\frac{4a+2}{2a}$=2+$\frac{1}{a}$；
又∵拋物線的頂點E在第二象限且該拋物線的對稱軸與⊙M相切，
則2+$\frac{1}{a}$=-5，
∴a=-$\frac{1}{7}$，b=-$\frac{10}{7}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{7}$x²-$\frac{10}{7}$x+8；
（3）①在Rt△AOC中
tan∠ACO=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，而tan∠CAE=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即點A在拋物線的對稱軸上；
又∵y=ax²+（-4a-2）x+8，
∴2+$\frac{1}{a}$=-4，
∴a=-$\frac{1}{6}$；
∴y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+8=-6（x+4）²+$\frac{32}{3}$，
∴E（-4，$\frac{32}{3}$），
②在直線BC上存在點P，使得以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似，
根據(jù)B、C的坐標求得直線BC的解析式為y=-2x+8，
連接BM，如圖2，∵∠PBM=∠CAM，∠CAM=∠ACM=∠EAC，
∴∠PBM=∠EAC，
∴以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似，
∴$\frac{BM}{AE}$=$\frac{PB}{AC}$，或$\frac{BM}{AC}$=$\frac{PB}{AE}$，
設P（m，-2m+8），
∵A（-4，0），B（4，0），C（0，8），M（0，3），E（-4，$\frac{32}{3}$），
∴AE=$\frac{32}{3}$，AC=4$\sqrt{5}$，BM=5，
∴PB=$\frac{15\sqrt{5}}{8}$或$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
∴解（m-4）²+（-2m+8）²=（$\frac{15\sqrt{5}}{8}$）²得m₁=$\frac{17}{8}$，m₂=$\frac{47}{8}$＞4（不和題意舍去），
解（m-4）²+（-2m+8）²=（$\frac{8\sqrt{5}}{3}$）²，得m₃=$\frac{4}{3}$，m=$\frac{20}{3}$＞4（不和題意舍去），
∴點P的坐標為（$\frac{17}{8}$，$\frac{15}{4}$）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{16}{3}$）．

點評 本題是圓的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質，切線的性質，三角形相似的性質等，分類討論思想的運用是解題的關鍵．