Question

15．如圖，等邊△ABC中，D為AB中點，E為BC上一點，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF，AF．
（1）求證：FE=FC；
（2）當∠DAF=90°，CE=1時，求等邊△ABC的邊長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接CD，根據(jù)等腰三角形的性質得到CD平分∠ACB，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，作FG⊥DE于G，則FG為DE垂直平分線，于是得到∠DCE=30°=$\frac{1}{2}$∠DFE，證得F為△CDE外接圓圓心，即可得到結論；
（2）如圖2，過A、D分別作AI⊥BC，DH⊥BC，借助于平行線分線段成比例定理和全等三角形的判定和性質進行分析求解即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接CD，
∵D為AB中點，
∴CD平分∠ACB，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
作FG⊥DE于G，則FG為DE垂直平分線，
∴∠DCE=30°=$\frac{1}{2}$∠DFE，
∴F為△CDE外接圓圓心，
∴FE=FC；

（2）解：如圖2，過A、D分別作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分別為I、H，
∵△ABC為等邊三角形，AI⊥BC，
∴AI垂直平分BC，
∴BI=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠ADF+60°+∠BDE=180°，∠BED+60°+∠BDE=180°，
∴∠ADF=∠BED，
在△ADF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BED}\\{∠DAD=∠DHE}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴HE=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵DH⊥BC，AI⊥BC，
∴DH∥AI，
∵△ABI中，D為AB中點，DH∥AI，
∴BH=$\frac{1}{2}$BI=$\frac{1}{4}$BC，
BC=CE+HE+BH=1+$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{4}$BC，
∴BC=4，
即等邊△ABC的邊長為4．

點評 該題考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解答的關鍵．