Question

4．如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE，連接BD，CE交于點F．
（1）求證：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）由旋轉的性質得到三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等得到兩對邊相等，一對角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可；
（2）根據(jù)∠BAC=45°，四邊形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長，由BD-DF求出BF的長即可．

解答 解：（1）由旋轉的性質得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠CAE=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得：AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，
∴BD²=2AB²，即BD=2$\sqrt{2}$，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=2$\sqrt{2}$-2．

點評 此題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，以及菱形的性質，熟練掌握旋轉的性質是解本題的關鍵．