Question

13．如圖示AB為⊙O的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧AB上一點，點F在AE的延長線上，且BE=EF，線段CE交弦AB于點D．
①求證：CE∥BF；  
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：$\sqrt{5}$，求△BCD的面積（注：根據(jù)圓的對稱性可知OC⊥AB）．

Answer 1

分析 ①連接AC，BE，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出∠F=$\frac{1}{2}$∠AEB，由圓周角定理得出∠AEC=∠BEC，證出∠AEC=∠F，即可得出結(jié)論；
②證明△ADE∽△CBE，得出$\frac{AD}{CB}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，證明△CBE∽△CDB，得出$\frac{BD}{CB}=\frac{BE}{CE}$，求出CB=2$\sqrt{5}$，得出AD=6，AB=8，由垂徑定理得出OC⊥AB，AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=4，由勾股定理求出CG=$\sqrt{C{B}^{2}-B{G}^{2}}$=2，即可得出△BCD的面積．

解答 ①證明：連接AC，BE，作直線OC交AB于G，如圖所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F=$\frac{1}{2}$∠AEB，
∵C是$\widehat{AB}$的中點，∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴$\frac{AD}{CB}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{AD}{CB}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴$\frac{BD}{CB}=\frac{BE}{CE}$，即$\frac{2}{CB}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴CB=2$\sqrt{5}$，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵點C為劣弧AB的中點，
∴OC⊥AB，AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴CG=$\sqrt{C{B}^{2}-B{G}^{2}}$=2，
∴△BCD的面積=$\frac{1}{2}$BD•CG=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、三角形的外角性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．