Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC為直徑作半圓交AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由∠A的度數(shù)求出∠ADO度數(shù)，利用30°直角三角形的性質(zhì)求出BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，陰影部分面積=直角三角形ABC面積-扇形OCD面積-三角形AOD面積，求出即可．

解答 解：連接半圓圓心O與D，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，∠COD=60°，
根據(jù)勾股定理得：AC=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{3}{2}$，
∴AD=3，
則S_陰影=S_△ABC-S_扇形COD-S_△AOD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{2}$，
故答案為$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，以及扇形面積的計(jì)算，涉及的知識(shí)有：等腰三角形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握扇形面積公式S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$是解本題的關(guān)鍵．