Question

3．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，聯(lián)結(jié)DE并延長至點F，使EF=AE，聯(lián)結(jié)AF，CF，聯(lián)結(jié)BE并延長交CF于點G．
（1）求證：BC=DF；
（2）若BD=2DC，求證：GF=2EG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，由于CD=CE，得到△CDE是等邊三角形，求得∠CDE=∠ABC=60°，CD=DE，推出四邊形ABDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=DF，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CDE=∠DCE=60°，CE=CD=DE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CBE=∠DFC，由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BD}{FG}=\frac{DE}{EG}$，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠CDE=∠ABC=60°，CD=DE，
∴DF∥AB，
∵EF=AE，CD=DE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{EF}{DE}$，
∴AF∥BC，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴AB=DF，
又∵AB=BC，
∴BC=DF；
（2）∵△CDE是等邊三角形，
∴∠CDE=∠DCE=60°，CE=CD=DE，
又∵BC=DF，
在△BCE和△FDC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DF}\\{CE=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FDC，
∴∠CBE=∠DFC，
又∵∠BED=∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴$\frac{BD}{FG}=\frac{DE}{EG}$，
又∵CD=DE，BD=2CD，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{GF}{EG}=2$，
∴GF=2EG．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，需要正確尋找全等三角形，屬于中考�？碱}型．