Question

9．如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，△ABD和△BCE都是等邊三角形，
（1）求證：AE=CD；
（2）若AE交BD于M，CD交BE于N，連結(jié)MN，試判斷△MBN的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△AEB≌△DCB，就可以得出結(jié)論；
（2）通過(guò)證明△DBN≌△ABM，就可以得出BN=BM，由∠DBE=60°就可以得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠ABD=∠CBE═60°，AB=DB，CB=EB．
∴∠ABD+∠EBD=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠DBC．
∵A，B，C在同一直線(xiàn)上，
∴∠ABC=180°，
∴∠DBE=60°．
∴∠ABD=∠EBD．
在△AEB和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{CB=EB}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DCB（SAS），
∴AE=CD．

（2）∵△AEB≌△DCB，
∴∠EAB=∠CDB．
在△DBN和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠CDB}\\{AB=DB}\\{∠DBE=∠ABM}\end{array}\right.$，
∴△DBN≌△ABM（ASA），
∴BN=BM．
∵∠DBE=60°，
∴△MBN是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用．解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．