Question

11．（1）在△ABC中，∠ABC的角平分線和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，如圖1，試猜想∠P與∠A的關(guān)系，并予以證明；
（2）在△ABC中，一個(gè)外角∠ACE的角平分線和一個(gè)內(nèi)角∠ABC的角平分線交于點(diǎn)P，如圖2，試猜想∠P與∠A的關(guān)系，并予以證明；
（3）在△ABC中，兩個(gè)外角∠EBC的角平分線和∠FCB的角平分線交于點(diǎn)P，如圖3，試猜想∠P與∠A的關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，然后整理即可得證；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答 解：（1）∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵點(diǎn)P為角平分線的交點(diǎn)，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
在△PBC中，∠P=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（2）∠P=$\frac{1}{2}$∠A．
理由：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∵外角∠ACE的角平分線和內(nèi)角∠ABC的角平分線交于點(diǎn)P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由：∵外角∠EBC的角平分線和∠FCB的角平分線交于點(diǎn)P，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$∠A+90°，
在△PBC中，∠P=180°-（$\frac{1}{2}$∠A+90°）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．