Question

3．如圖，已知點(diǎn)D在⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C為⊙O上，過D作ED⊥AD，與AC的延長(zhǎng)線相交于E，且CD=DE．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若AB=12，且BC=CE時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)0C，由AB為直徑，得到∠ACB=90°，求得∠E=∠ABC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠OCB，等量代換得到∠E=∠OCB，推出OC⊥CD，于是得到結(jié)論；
（2）連接OC，由（1）得出的∠BCD=∠A，易知：∠OBC=∠CDE，因此等腰△OBC和等腰△DCE相似；由于題中告訴了BC=CE，可得到的條件是△OBC≌△DCE；因此OC=CD=6；在等腰Rt△OCD中，已知了直角邊的長(zhǎng)，即可求出斜邊OD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連結(jié)0C，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ECD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠E=90°-∠A，∠ABC=90°-∠A，
∴∠E=∠ABC，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠E=∠OCB，
又∵CD=DE，
∴∠E=∠ECD，
∴∠OCB=∠ECD，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
即OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：由（1）知：∠BCD=∠A，∠ACB=∠BCE=90°，
∴∠OBC=∠DCE，
∵OB=OC，CD=DE，
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠E，
在△OBC和△DCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠DCE}\\{BC=CE}\\{∠OCB=∠E}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△DCE（ASA），
∴OC=CD=6，
Rt△OCD中，OC=CD=6，∠OCD=90°，
∴OD=6$\sqrt{2}$，
即BD=OD-OB=6$\sqrt{2}$-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．