Question

19．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，連接CG交BD于點(diǎn)H，連接FO并延長(zhǎng)FO交CG于點(diǎn)P，則PG：PC的值為$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則AB=BC=AD=a，根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠ABC=90°，AD∥BC，OD=OB，由勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$a，延長(zhǎng)FP交AD于M，過B作BN∥AC交AF的延長(zhǎng)線于N，證△NFB∽△AFC求出BF=（$\sqrt{2}$-1）a，CF=（2-$\sqrt{2}$）a，證△BOF∽△DOM求出DM=BF=（$\sqrt{2}$-1）a，求出GM=（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$）a，證△GMP∽△CFP，得出$\frac{PG}{PC}$=$\frac{GM}{CF}$，即可求出答案．

解答 解：如圖：
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則AB=BC=AD=a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，OD=OB，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$a，
延長(zhǎng)FP交AD于M，過B作BN∥AC交AF的延長(zhǎng)線于N，
則∠N=∠CAF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴∠N=∠BAF，
∴AB=BN=a，
∵BN∥AC，
∴△NFB∽△AFC，
∴$\frac{BN}{AC}$=$\frac{BF}{CF}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{BF}{a-BF}$，
∴BF=（$\sqrt{2}$-1）a，
∴CF=a-（$\sqrt{2}$-1）a=（2-$\sqrt{2}$）a，
∵AD∥BC，
∴△BOF∽△DOM，
∴$\frac{DM}{BF}$=$\frac{OD}{OB}$，
∵OD=OB，
∴DM=BF=（$\sqrt{2}$-1）a，
∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，
∴DG=AG=$\frac{1}{2}$a，
∴GM=$\frac{1}{2}$a-（$\sqrt{2}$-1）a=（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$）a，
∵AD∥BC，
∴△GMP∽△CFP，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{GM}{CF}$，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{（\frac{3}{2}-\sqrt{2}）a}{（2-\sqrt{2}）a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．