Question

18．如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形；③AC=AO+AP；④S_△ABC=S_{四邊形AOCP}，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據(jù)此即可求解；
②證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
③首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)S_{四邊形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC，利用三角形的面積公式即可求解．

解答 解：如圖1，連接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正確；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等邊三角形；
故②正確；
如圖2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PE}\\{∠APO=∠CPE}\\{OP=CP}\end{array}\right.$，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正確；
如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，
S_{四邊形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CD=$\frac{1}{2}$AP•CH+$\frac{1}{2}$OA•CH=$\frac{1}{2}$CH•（AP+OA）=$\frac{1}{2}$CH•AC，
∴S_△ABC=S_{四邊形AOCP}；
故④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．