Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AB=6，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，將△OAB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線段OB₁的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA₂B₁，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B₁、A₂．
（1）求拋物線的關(guān)系式．
（2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點(diǎn)P（m，n），求△PBB₁的面積與m的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線段BB₁的距離為$\sqrt{2}$？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)B、B₁、A₂三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）求△PBB₁面積的方法，如圖1所示，求出△PBB₁的面積表達(dá)式，S_△PBB1=S_△PBC+S_{四邊形PCOB1}-S_△OBB1，進(jìn)而得出答案；
（3）本問(wèn)引用了（2）問(wèn)中三角形面積表達(dá)式的結(jié)論，利用此表達(dá)式表示出△QBB₁的面積，然后解一元二次方程求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵AB⊥x軸，AB=6，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，
∴OB=8，
∴B（-8，0），B₁（0，-8），A₂（6，0）．
∵拋物線y=a（x+8）（x-6）（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B₁（0，-8），
∴$a=\frac{1}{6}$，
∴拋物線的解析式為：$y=\frac{1}{6}{x^2}+\frac{1}{3}x-8$．                

（2）點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線$y=\frac{1}{6}{x^2}+\frac{1}{3}x-8$上的一點(diǎn)，
如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則m＜0，n＜0，$n=\frac{1}{6}{m^2}+\frac{1}{3}m-8$．
于是PC=|n|=-n=$-\frac{1}{6}{m^2}-\frac{1}{3}m+8$，OC=|m|=-m，
BC=OB-OC=4+m，
S_△PBB1=S_△PBC+S_{四邊形PCOB1}-S_△OBB1=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{16}{3}$m；

（3）假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)Q（x₁，y₁）到線段BB₁的距離為$\sqrt{2}$．
如答圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BB₁于點(diǎn)D．
由（2）可知，此時(shí)△QBB₁的面積可以表示為：$-\frac{2}{3}{x_1}^2-\frac{16}{3}{x_1}$，
在Rt△QBB₁中，BB₁=$\sqrt{O{B}^{2}+O{B}_{1}^{2}}$=$8\sqrt{2}$
∵S△QBB₁=$\frac{1}{2}×QD×B{B_1}$=$\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×\sqrt{2}$=8，
∴$-\frac{2}{3}{x_1}^2-\frac{16}{3}{x_1}=8$，
解得：x₁=-2或x₁=-6
當(dāng)x₁=-2時(shí)，y₁=-8；當(dāng)x₁=-6時(shí)，y₁=-4，
∴Q（-2，-8）或Q（-6，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變化、圖形面積求法、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問(wèn)起承上啟下的作用，是本題的難點(diǎn)與核心，其中的要點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)圖形面積的求解方法，這種方法是壓軸題中常見(jiàn)的一種解題方法，同學(xué)們需要認(rèn)真掌握．