Question

8．已知：AB是⊙O的直徑，C是AB上一點(diǎn)，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割線，交⊙O于D、E．求證：PC²=PD•PE+AC•CB．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)PC交⊙O于G，根據(jù)切割線定理和相交弦定理進(jìn)行證明即可．

解答 證明：延長(zhǎng)PC交⊙O于G，
由割線定理，得PD•PE=PF•PG．
由相交弦定理，得AB•BC=CF•CG．
∵直徑AB⊥FG，
∴CF=CG，
∴AB•BC=CF²，
∴PD•PE=PF•PG=（PC-CF）（PC+CG）=（PC-CF）（PC+DF）=PC²-CF²，
∴PD•PE+AC•CB=PC²-CF²+CF²=PC²，
即 PC²=PD•PE+AC•CB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切割線定理和相交弦定理．切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．