Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF交AC于按F，DB交AC于點(diǎn)G．下面結(jié)論：①FA=FD=FG；②FG=GC；③CD是DG與DB的比例中項(xiàng)；④$\frac{EO}{OB}$=$\frac{EF}{FD}$，其中正確的結(jié)論有3個(gè)．

Answer 1

分析 連接AD，延長(zhǎng)DE交⊙O于M，如圖1，根據(jù)垂徑定理得$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$，又由D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$，根據(jù)圓周角定理得到∠3=∠B，再由AB為直徑，得到∠ADB=90°，所以∠3+∠AGD=90°，易得∠1=∠AGD，所以DF=FG；根據(jù)圓周角定理由$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$，得到∠3=∠2，于是得到FA=FD=FG；根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ADB=∠ACB=90°，然后證明∠FGD=∠FDG，得到FD=FG，加上FA=FD，所以FA=FG，接著在△ADF和△CDG中，∠DAF=∠DCG，DA=DC，假設(shè)CG=FG，則AF=CG，則可判斷△ADF≌△CDG，而△ADF為等腰三角形，所以△DCG也為等腰三角形，于是得到∠DCA=∠CDB，所以點(diǎn)C為BD弧的中點(diǎn)，即C、D為半圓的三等分點(diǎn)，這與題設(shè)不符，所以CG與FG不能確定相等；通過(guò)△CDG∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD是DG與DB的比例中項(xiàng)；如圖2，連接OD，則OD⊥AC，通過(guò)△AEF∽△ODE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AF}{OD}=\frac{EF}{OE}$，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：如圖1，連接AD，延長(zhǎng)DE交⊙O于M，如圖1，
∵DE⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$，
∵D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$，
∴∠3=∠B，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠3+∠AGD=90°，
∵∠B+∠1=90°，
∴∠1=∠AGD，
∴DF=FG；
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$，
∴∠3=∠2，
∴AF=FG，
∴FA=FD=FG；故①正確；
如圖1，連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠FDG+∠ADQ=90°，∠CGB+∠4=90°，
∵∠CGB=∠FGD，∠4=∠ADQ，
∴∠FGD=∠FDG，
∴FD=FG，
∵FA=FD，
∴FA=FG，
在△ADF和△CDG中，
∠DAF=∠DCG，DA=DC，
若CG=FG，則AF=CG，則可判斷△ADF≌△CDG，
∵△ADF為等腰三角形，
∴△DCG也為等腰三角形，
∴∠DCA=∠CDB，
∴點(diǎn)C為BD弧的中點(diǎn)，即C、D為半圓的三等分點(diǎn)，這與題設(shè)不符，
∴CG與FG不能確定相等，故②錯(cuò)誤；
∵∠DCA=∠4，∠CDG=∠CDG，
∴△CDG∽△BCD，
∴$\frac{DG}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=DG•BD，
∴CD是DG與DB的比例中項(xiàng)，故③正確；
如圖2，連接OD，則OD⊥AC，
∴∠A=∠EDO，
∵∠AEF=∠DEO=90°，
∴△AEF∽△ODE，
∴$\frac{AF}{OD}=\frac{EF}{OE}$，
∵AF=DF，OD=OB，
∴$\frac{EO}{OB}$=$\frac{EF}{FD}$，故④正確．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．