Question

19．如圖①，拋物線C₁：y=（x-1）²-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，將拋物線繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線記為C₂．
（1）求C₂的函數(shù)解析式；
（2）如圖②，已知C（0，3），連AC，線段AC繞平面內(nèi)某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后得到線段PQ（點(diǎn)C，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是P，Q），若P，Q兩點(diǎn)在拋物線C₁上，求P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式即可；
（2）根據(jù)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），則由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為：x²-4．所以根據(jù)AP=PQ可以求得x=2或x=-1，易得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)了．

解答 解：（1）∵拋物線C₂是通過(guò)C₁旋轉(zhuǎn)得到的，
∴它們的形狀及大小完全相同，C₁的最小值就是C₂的最大值，且開(kāi)口方向相反，易得：A（-1，0），B（3，0），
∴點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)是D（7，0），
∴C₂的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=5，
∴C₂的解析式為：y=-（x-5）²+4；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為：（x-1）²-4=x²-2x-3，
設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)中心的橫坐標(biāo)為x₀，則x₀=$\frac{0+x}{2}$，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x₁，同理可得：x₀=$\frac{-1+{x}_{1}}{2}$，
∴$\frac{0+x}{2}$=$\frac{-1+{x}_{1}}{2}$，
則x₁=x+1，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為：（x+1）²-2（x+1）-3=x²-4．
∵AB=PQ，
∴AB²=PQ²，即1²+3²=[（x+1）-x]²+[（x²-4）-（x²-2x-3）]²，
解得：x=2或x=-1，
∴點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是：P₁（2，-3）、Q₁（3，0）或P₂（-1，0）、Q₂（0，-3）．
顯然，P₁Q₁與AB不是中心對(duì)稱(chēng)，而是軸對(duì)稱(chēng)，
綜上所述，符合條件的坐標(biāo)是：P（2，-3）、Q（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．由于拋物線旋轉(zhuǎn)后的形狀不變，故|a|不變，所以求旋轉(zhuǎn)移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．