Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°．⊙I分別切AC，BC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求Rt△ABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：連結(jié)ID、IE、IF，如圖，由AC=8，BC=6，∠C=90°，根據(jù)圓周角定理的推論和勾股定理得到AB為△ABC的外接圓的直徑，AB=10，則外心O為AB的中點(diǎn)，BO=

1

2

AB=5，連結(jié)OI，設(shè)⊙I的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD=AF，BE=BF，易得四邊形IDCE為正方形，則DC=CE=r，所以AD=AC-DC=8-r，BE=BC-CE=6-r，即AF=8-r，BF=6-r，利用AF+BF=AB得8-r+6-r=10，解得r=2，所以BF=4，則OF=OB-BF=1，
在Rt△IOF中，根據(jù)勾股定理得IO=

5

．

解答：解：連結(jié)ID、IE、IF，如圖，
∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴AB為△ABC的外接圓的直徑，AB=

AC2+BC2

=10，
∴外心O為AB的中點(diǎn)，
∴BO=

1

2

AB=5，
連結(jié)OI，如圖，
設(shè)⊙I的半徑為r，
∵⊙I分別切AC，BC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD=AF，BE=BF，
而∠C=90°，
∴四邊形IDCE為正方形，
∴DC=CE=r，
∴AD=AC-DC=8-r，BE=BC-CE=6-r，
∴AF=8-r，BF=6-r，
而AF+BF=AB，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴BF=6-r=4，
∴OF=OB-BF=5-4=1，
在Rt△IOF中，IF=2，OF=1，
∴IO=

OF2+IF2

=

5

，
即Rt△ABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了切線的性質(zhì)和切線長定理．