Question

5．已知第一個三角形的面積是1，它的三條中位線組成第1個三角形，第2個三角形的三條中位線又組成第3個三角形，以此類推…第2014個三角形的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{{2}^{4022}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{4024}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{4026}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{4028}}$

Answer 1

分析 由A₂，B₂，C₂分別是△A₁B₁C₁各邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和有三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似得到△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，所以S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，得到即S_△A2B2C2=$\frac{1}{4}$，同理可得S_△A3B3C3=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{4}$）²，以此類推即可得到第n個三角形的面積，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：∵A₂，B₂，C₂分別是△A₁B₁C₁各邊的中點(diǎn)，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，
∴S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，
即S_△A2B2C2=$\frac{1}{4}$，
∴S_△A3B3C3=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{4}$）²，
以此類推，第n個三角形的面積是（$\frac{1}{4}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）^2n-2，
∴第2014個三角形的面積為（$\frac{1}{2}$）^2×2014-2=$\frac{1}{{2}^{4026}}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了三角形中位線定理以及三角形相似的性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是找到問題的一般規(guī)律．