Question

8．在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，再將線段BD平移到EF，使點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上． 
（1）如圖1，直接寫出∠ABD和∠CFE的度數(shù)；  
（2）圖1中：AE和CF有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由； 
（3）如圖2，連接CE，判斷△CEF的形狀并加說明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)可得到∠DBC=60°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可求得∠ABC，可求得∠ABD，利用平移可得到∠AEF=∠ABD，在△AEF中利用外角的性質(zhì)可求得∠CFE；
（2）連接CD、DF，可證明四邊形BDFE為平行四邊形，可證得EF=BD=CD，再結(jié)合條件可求得∠A=∠CFD，∠AEF=∠ACD，可證明△AEF≌△FCD，可證明AE=CF；
（3）過點(diǎn)E作EG⊥CF于G，可證明G為CF的中點(diǎn)，從而可證得EF=EC，可得△CEF為等腰直角三角形．

解答 解：
（1）∵線段BC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)60°得到BD，
∴∠CBD=60°，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，
∵BD平移得到EF，
∴EF∥BD，
∴∠AEF=∠ABD=15°，
∵∠A=30°，
∴∠CFE=∠A+∠AEF=30°+15°=45°；
（2）AE=CF．
理由：如圖1，連結(jié)CD、DF，

∵線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，
∴BD=BC，∠CBD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴CD=BD，
∵線段BD平移到EF，
∴EF∥BD，EF=BD，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，EF=CD，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=15°=∠ACD，
∴∠DFE=∠ABD=15°，∠AEF=∠ABD=15°，
∴∠AEF=∠ACD=15°，
∵∠CFE=∠A+∠AEF=30°+15°=45°，
∴∠CFD=∠CFE-∠DFE=45°-15°=30°，
∴∠A=∠CFD=30°，
在△AEF和△FCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠ACD}\\{∠A=∠CFD}\\{EF=CD}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△FCD（AAS），
∴ΑE=CF；
（3）△CEF是等腰直角三角，
理由如下：
如圖2，過點(diǎn)E作EG⊥CF于G，

∵∠CFE=45°，
∴∠FEG=45°，
∴EG=FG，
∵∠A=30°，∠AGE=90°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AE，
∵ΑE=CF，
∴EG=$\frac{1}{2}$CF，
∴FG=$\frac{1}{2}$CF，
∴G為CF的中點(diǎn)，
∴EG為CF的垂直平分線，
∴EF=EC，
∴∠CEF=2∠FEG=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形的判定等．在（2）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（3）中證得G為CF的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度很大．