Question

5．如圖（1），拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）
（1）如圖（1），P為線段BC上的動點(diǎn)．過P作x軸的垂線，交拋物線與Q點(diǎn)．求PQ長度的最值．
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線y=x²-2x+k上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法先確定出拋物線解析式，再建立PQ函數(shù)解析式即可得出PQ極值；
（2）先建立S_{四邊形ABDC}=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，函數(shù)關(guān)系式，即可確定出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）分兩種情況用直線函數(shù)解析式和拋物線解析式聯(lián)立即可確定出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴k=-3，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC解析式為y=x-3，
設(shè)P（m，m-3）（0≤m≤3），
∴Q（m，m²-2m-3），
∴PQ=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，PQ長度的最大值為$\frac{9}{4}$，當(dāng)m=0或m=3時，PQ長度的最小值為0；
（2）如圖2，∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
設(shè)P（m，m-3）（0≤m≤3），
∴D（m，m²-2m-3），
∴PD=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m，
∴S_{四邊形ABDC}=S_△ABC+S_△CDP+S_△BDP=$\frac{1}{2}$AB×OC+$\frac{1}{2}$PD×|x_B|=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，S_{四邊形ABDC最大}=$\frac{75}{8}$，此時，點(diǎn)D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）由（1）知，直線BC解析式為y=x-3，
∵△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．
∴BQ⊥BC或CQ⊥BC，
當(dāng)BQ⊥BC時，直線BQ的解析式為y=-x+3①，
由（1）知，拋物線解析式為y=x²-2x-3②，
聯(lián)立①②得，Q（-2，5），
當(dāng)CQ⊥BC時，直線CQ的解析式為y=-x-3③，
聯(lián)立②③得，Q（1，-4），
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，5）或（1，-4）．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形面積公式，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)解析式，是一道比較簡單中考�？碱}．