Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，3），B（-3，0），C（3，0），D在BC上，連接AD
（1）如圖1，當(dāng)S_△ABD：S_△ACD=1：2，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AO以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)直線CP⊥AD，垂足為G時(shí)，求此時(shí)t值；
（3）如圖3，在（1）的條件下，過點(diǎn)A作EA⊥AD，且∠ACE=∠ABD，若AF⊥BE于點(diǎn)H，AF交BC于點(diǎn)F，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，表示出CD，BD，利用三角形的面積比列式求出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）利用三角形的面積求出CG，設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，用線段CG的長建立方程求出點(diǎn)G坐標(biāo)，即可得出直線CP解析式，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)，即可；
（3）先判斷出△ABD≌△ACE，求出CE，再判斷出CE⊥BC，得出點(diǎn)E坐標(biāo)，即可求出直線BE解析式，進(jìn)而得出直線AF解析式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)D（m，0），
∵A（0，3），B（-3，0），C（3，0），
∴BD=m-3，CD=3-m，OA=3
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD×OA=$\frac{1}{2}$×（m-3）×3
S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×OA=$\frac{1}{2}$×（3-m）×3
∵S_△ABD：S_△ACD=1：2，
∴2×$\frac{1}{2}$×（m-3）×3=$\frac{1}{2}$×（3-m）×3，
∴m=-1，
∴D（-1，0）
（2）∵A（0，3），D（-1，0），
∴AD=$\sqrt{10}$，直線AD解析式為y=3x+3，
∵CP⊥AD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×OA=$\frac{1}{2}$×AD×CG，
由（1）知，CD=4，OA=3，
∴4×3=$\sqrt{10}$CG，
∴CG=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
設(shè)G（g，3g+3），
∵C（3，0），
∴（3-g）²+（3g+3）²=（$\frac{6\sqrt{10}}{5}$）²，
∴g=-$\frac{3}{5}$，
∴G（-$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∵C（3，0），
∴直線CP解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∴P（0，1），
∴t=（3-1）÷1=2．
（3）∵A（0，3），B（-3，0），C（3，0），
∴OA=OB=OC，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAD+∠CAD=90°
∵EA⊥AD，
∴∠CAE+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2，
∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ACE=∠ABD，
∴∠OCE=90°，
∴E（3，2），
∵B（-3，0），
∴直線BE解析式為y=$\frac{1}{3}$x+1，
∵AF⊥BE于點(diǎn)H，AF交BC于點(diǎn)F，且A（0，3），
∴直線AF的解析式為y=-3x+3，
∴F（1，0），
∴CF=2．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，待定系數(shù)法求直線解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是利用三角形的面積求出CG，判斷出CE⊥BC是解本題的難點(diǎn)．