Question

8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，∠BAO與∠ABO的角平分線相交于點(diǎn)I．
（1）求∠AIB的度數(shù)；
（2）如圖2，過(guò)I作IC⊥OB于點(diǎn)C，求證：AB-AO+BO=2BC．
（3）如圖3，D為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，作△BID關(guān)于DI的對(duì)稱圖形△B′ID，B′D交AB于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，若AO=6，BO=8，則下列結(jié)論中：①△AEF的周長(zhǎng)是定值；②△AEF的面積是定值，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)指出正確的結(jié)論并求其值．

Answer 1

分析 （1）由角平分線和三角形的內(nèi)角和即可求出結(jié)論；
（2）利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，得出IC=IM，BC=BN，AN=AM，OC=OM，最后用等量代換即可得出結(jié)論；
（3）先求出AB，用（2）的結(jié)論求出BC，進(jìn)而得出OM，最后得出AM=AG=4，進(jìn)而判斷出B'D和△AOB的內(nèi)切圓相切，最后用切線長(zhǎng)定理即可．

解答 解：（1）∵∠BAO與∠ABO的角平分線相交于點(diǎn)I．
∴∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABO，∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAO，
∴∠ABI+∠BAI=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠BAO）=45°，
∴∠AIB=180°-（∠ABI+∠BAI）=135°；
（2）如圖2，

過(guò)點(diǎn)I作IM⊥OA，IN⊥AB，
∵∠BAO與∠ABO的角平分線相交于點(diǎn)I，
∴IC=IM，BC=BN，AN=AM，OC=OM，
∴AB-AO+OB=BN+AN-AO+BC+OC=BC+AM-AO+BC+OM=2BC+（AM+OM）-OA=2BC；
（3）①△AEF的周長(zhǎng)是定值
理由：如圖3，

作△AOB的內(nèi)切圓和OA，AB邊相切于G，M，
∵AO=6，BO=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
由（2）知，AB-AO+BO=2BC，
∵OA=6，OB=8，
∴2BC=10-6+8=12，
∴BC=6，
∴OG=OC=OB-BC=8-6=2，
∴AG=OA-OG=6-2=4，
過(guò)點(diǎn)I作IN⊥B'D，
∵△BID關(guān)于DI的對(duì)稱圖形△B′ID，
∴IC=IN，
∴B'D切⊙I于N，
∵AM，AG切⊙I，
∴AM=AG=4，EM=EN，F(xiàn)G=FN，
∴①△AEF的周長(zhǎng)為AE+EF+AF=AE+EN+FN+AF=AE+EM+FG+AG=AM+AG=8．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的內(nèi)角平分線，三角形的內(nèi)角和公式，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，得出AB-AO+OB=2BC是解本題的關(guān)鍵，判斷出B'D是△AOB的內(nèi)切圓的切線是解本題的難點(diǎn)．