Question

7．如圖1，已知矩形ABCD，動點E在邊CD上由點C向點D運(yùn)動，動點F在射線CB上運(yùn)動，始終保持CE=2CF，將△ECF沿EF翻折得到△EC′F．當(dāng)點E與點D重合時停止運(yùn)動．設(shè)CF=x，△EC′F與矩形ABCD重疊部分的面積為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤n，n＜x≤6時，函數(shù)的解析式不同）．
（1）填空：m=3；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式即可得到答案．
（2）分三種情形討論①0＜t≤3，此時s=S_△EFC②3＜t≤$\frac{24}{5}$，此時s=S_{四邊形EFNK}③$\frac{24}{5}$＜t≤7，此時s=S_△ENK．

解答 解：（1）由題意$\frac{1}{2}$•t•2t=9，
解得t=3（或-3舍棄），
∴m=3，
故答案為3．
（2）當(dāng)0＜t≤3時，s=S_△EFC′=$\frac{1}{2}$•t•2t=t²，
當(dāng)t=3時，如圖1、
，
由題意CF=FC′=3，EC=6，作EM⊥AB垂足為M，設(shè)BF=x，
∵∠EMB=∠MBC=∠C=90°，
∴四邊形EMBC是矩形，
∴EC=BM=6，EM=BC=3+x，EC=EC′=6，
∵∠E′CM+′FC′B=90°，∠FC′B+′C′FB=90°，
∴∠ECM=∠C′FB，
∴△EC′M∽△C′FB，
∴$\frac{EC′}{C′F}$=$\frac{EM}{BC′}$，
∴$\frac{6}{3}$=$\frac{3+x}{\sqrt{9-{x}^{2}}}$，
解得x=$\frac{9}{5}$，
∴BC=$\frac{24}{5}$
∴當(dāng)3＜t≤$\frac{24}{5}$時，如圖2
，
作EM⊥AB垂足為M，
由（1）可知在Rt△EMK中，∵EM=BC=$\frac{24}{5}$，EK=6，
∴MK=$\frac{18}{5}$，
∵∠FNB=∠KNC′，∠KNC′+∠C′KN=90°，∠NKC′=′EKM，∠MEK+∠EKM=90°，
∴∠FNB=∠MEK，
∵∠EMK=∠FBN=90°，
∴△EMK∽△NBF，
∴$\frac{EK}{NF}$$\frac{MK}{FB}$，
∴$\frac{6}{FN}$=$\frac{\frac{18}{5}}{\frac{24}{5}-t}$，
∴FN=$\frac{5}{3}$（$\frac{24}{5}$-t），NC′=FC′-NF=t-$\frac{5}{3}$（$\frac{24}{5}$-t），
∵∠EMK=∠C′=90°，∠EKM=∠NKC′，
∴△EMK∽△CNK，
∴$\frac{EM}{C′N}$=$\frac{MK}{C′K}$，
∴$\frac{\frac{24}{5}}{t-\frac{5}{3}（\frac{24}{5}-t）}$=$\frac{\frac{18}{5}}{C′K}$
∴C′K=$\frac{3}{4}$[t-$\frac{5}{3}$（$\frac{24}{5}$-t）]，
∴s=S_{四邊形EFNK}=S_△EFC′-S_△KNC′=t²-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$[t-$\frac{5}{3}$（$\frac{24}{5}$-t）]²=-$\frac{5}{3}$t²+16t-24．
當(dāng)$\frac{24}{5}$＜t≤7時，如圖3，
∵∠CEN=∠NEK=∠ENK，
∴EK=KN=6，
∴s=S_△ENK=$\frac{1}{2}$•KN•EM=$\frac{1}{2}$•KN•EM=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{24}{4}$=$\frac{72}{5}$．
綜上所述：s=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{-\frac{5}{3}{t}^{2}+16t-24（3＜t≤\frac{24}{5}）}\\{\frac{72}{5}（\frac{24}{5}＜t≤7）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查翻折變換的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、重疊部分面積的計算，正確畫出圖形確定變量t的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．