Question

2．如圖，平行四邊形ABCD中，點E為DC上一點，連接AE，F(xiàn)為AE上一點，連接BF，∠AFB=∠EFB，G在BF上，連接AG、EG，F(xiàn)G平分∠AGE．
（1）求證：AF=EF；
（2）若AG=CE，BG=BC，求證：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意推知△EAG為等腰三角形，結合等腰三角形“三線合一”的性質證得結論；
（2）如圖，連接EB．構建全等三角形△BGE≌△BCE（SSS），結合全等三角形的對應角相等和平行四邊形的對邊相互平行的性質推知∠ECB=∠ABE=∠GAB=2∠ABF，∠AGF=∠ABF+∠GAB，
所以∠AGF=3∠ABF，即：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

解答 （1）證明：∵∠AFB=∠EFB，
∴∠AFB=∠EFB=90°，即FG⊥AE．
又∵FG平分∠AGE，
∴AF=EF；

（2）解：如圖，連接EB．
由（1）知，F(xiàn)G⊥AE，
又∵AF=EF，
∴BE=AB．
∵AG=EC=EG，
∴在△BGE與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=EC}\\{BG=BC}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△BCE（SSS），
∴∠BEG=∠BEC．
又∵EC∥AB，
∴∠ECB=∠ABE=∠GAB=2∠ABF，∠AGF=∠ABF+∠GAB，
∴∠AGF=3∠ABF，即：∠ABF=$\frac{1}{3}$∠AGF．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質以及等腰三角形的判定與性質．注意題中輔助線的作法是解題的難點．