Question

11．觀察下面的變形規(guī)律：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$； $\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；…解答下面的問(wèn)題：
（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）證明你的猜想；
（3）利用上面的結(jié)論求：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的等式，進(jìn)行推而廣之即可；
（2）根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行證明；
（3）根據(jù)（2）中證明的結(jié)論，進(jìn)行計(jì)算．

解答 （1）解：∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
故答案是：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）證明：右邊=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=左邊，
所以猜想成立．

（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了分式的加減運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，得到規(guī)律：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，然后利用規(guī)律求解．