Question

14．如圖，正方形ABCD的對角線上的兩個動點M、N，滿足AB=$\sqrt{2}$MN，點P是BC的中點，連接AN、PM，若AB=6，則當(dāng)AN+PM的最小值時，線段AN的長度為（　�。�

• A． 4
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 6
• D． 3$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 過P作PE∥BD交CD于E，連接AE交BD于N，過P作PM∥AE交BD于M，此時，AN+PM的值最小，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到PE=$\frac{1}{2}$BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EN=PM，根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：過P作PE∥BD交CD于E，連接AE交BD于N，過P作PM∥AE交BD于M，此時，AN+PM的值最小，
∵P是BC的中點，
∴E為CD的中點，
∴PE=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，AB=$\sqrt{2}$MN，
∴MN=$\frac{1}{2}$BD，
∴PE=MN，
∴四邊形PENM是平行四邊形，
∴EN=PM，
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AB∥CD，
∴△ABN∽△EDN，
∴$\frac{AN}{NE}$=$\frac{AB}{DE}$=2，
∴AN=2$\sqrt{5}$，
故選B．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短距離問題，平行三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，相似三角形的，正確的作出M，N的位置是解題的關(guān)鍵．