Question

14．已知凸四邊形ABCD的面積為3，兩對角線相交于點P，△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心分別為M₁、M₂、M₃、M₄，則四邊形M₁M₂M₃M₄的面積為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 連接CM₃交DP于點G，連接CM₂交BP于點H，由M₂、M₃分別為△PBC、△PCD的中點可知$\frac{{CM}_{2}}{CH}$=$\frac{{CM}_{3}}{CG}$=$\frac{2}{3}$，GH=$\frac{1}{2}$BD，由此可知△CGH∽△CM₃M₂，故$\frac{{M}_{3}{M}_{2}}{GH}$=$\frac{2}{3}$，所以M₃M₂=$\frac{1}{3}$BD，M₃M₂∥GH，同理可得M₃M₄∥AC，M₁M₄∥BD，M₁M₂∥AC，故四邊形M₁M₂M₃M₄的是平行四邊形，四邊形JKM₂M₃與四邊形JKM₁M₄均是平行四邊形，設(shè)BD=a，△BCD的高是h，則GK=$\frac{1}{3}$a，平行四邊形的高是$\frac{1}{3}$h，故S_{平行四邊形JKM2M3}=$\frac{2}{9}$S_△BCD，同理可得，S_{平行四邊形JKM1M4}=$\frac{2}{9}$S_△ABD，由此可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，連接CM₃交DP于點G，連接CM₂交BP于點H，
∵M(jìn)₂、M₃分別為△PBC、△PCD的中點，
∴$\frac{{CM}_{2}}{CH}$=$\frac{{CM}_{3}}{CG}$=$\frac{2}{3}$，GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴△CGH∽△CM₃M₂，
∴$\frac{{M}_{3}{M}_{2}}{GH}$=$\frac{2}{3}$，M₃M₂=$\frac{1}{3}$BD，M₃M₂∥GH．
同理可得，M₃M₄∥AC，M₁M₄∥BD，M₁M₂∥AC，
∴四邊形M₁M₂M₃M₄的是平行四邊形，四邊形JKM₂M₃與四邊形JKM₁M₄均是平行四邊形，
設(shè)BD=a，△BCD的高是h，則GK=$\frac{1}{3}$a，平行四邊形的高是$\frac{1}{3}$h，
∴S_{平行四邊形JKM2M3}=$\frac{2}{9}$S_△BCD，同理可得，S_{平行四邊形JKM1M4}=$\frac{2}{9}$S_△ABD，
∴S_{平行四邊形M1M2M3M4}=$\frac{2}{9}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{2}{9}$×3=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查的是面積及等級變換，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．