Question

1．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)． 
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)3秒后，△BPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以（1）②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

分析 （1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求得∠B=∠C，最后根據(jù)SAS即可證明；
②因?yàn)閂_P≠V_Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=4，根據(jù)全等得出CQ=BD=5，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和CQ的長(zhǎng)即可求得Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）因?yàn)閂_Q＞V_P，只能是點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q比點(diǎn)P多走AB+AC的路程，據(jù)此列出方程，解這個(gè)方程即可求得．

解答 解：（1）①∵t=3（秒），
∴BP=CQ=3（厘米）
∵AB=10，D為AB中點(diǎn)，
∴BD=5（厘米）
又∵PC=BC-BP=8-3=5（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD與△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵V_P≠V_Q，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=5．
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{BP}{1}$=4（秒），
此時(shí)V_Q=$\frac{CQ}{4}=\frac{5}{4}$=1.25（厘米/秒）．
（2）因?yàn)閂_Q＞V_P，只能是點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q比點(diǎn)P多走AB+AC的路程
設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后P與Q第一次相遇，依題意得1.25x=x+2×10，
解得x=80（秒），
此時(shí)P運(yùn)動(dòng)了80×1=80（厘米），
又∵△ABC的周長(zhǎng)為28厘米，80=28×2+24，
∴點(diǎn)P、Q在AB邊上相遇，即經(jīng)過(guò)了80秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在AB邊上相遇．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，解題的根據(jù)是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．