Question

12．已知△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且關(guān)于x的一元二次方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
①判斷△ABC的形狀；  
②若a=b，求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得出△=0，將等式變形，利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷；
（2）由a=b且a²+b²=c²可得c=$\sqrt{2}$a，即可得答案．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
∴△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形．

（2）若a=b，則c²=2a²，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴a：b：c=1：1：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．