Question

11．如圖1所示，已知點P為線段AB上一點，△BCP、△PAD是等邊三角形．
（1）說明：AC=BD；
（2）求∠DOA的度數(shù)．
（3）若把原題中“△BCP和△PAD是兩個等邊三角形”換成兩個正方形（如圖2所示），AC與BD的數(shù)量和位置關(guān)系如何？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AP=DP，BP=CP，∠APD=∠BPC，再求出∠APC=∠DPB，然后利用“邊角邊”證明△APC和△DPB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠PAC=∠PDB，再求出∠OAD+∠ODA=∠PAD+∠PDA=120°，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可得解；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=DP，PB=PC，∠APD=∠DPB=90°，然后利用“邊角邊”證明△APC和△DPB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=BD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠PCA=∠PBD，延長AC與BD相交于點H，然后求出∠PAC+∠PBD=90°，從而得到∠AHB=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答 （1）證明：∵△BCP、△PAD是等邊三角形，
∴AP=DP，BP=CP，∠APD=∠BPC，
∴∠APD+∠CPD=∠BPC+∠CPD，
即∠APC=∠DPB，
在△APC和△DPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=DP}\\{∠APC=∠DPB}\\{BP=CP}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC=BD；

（2）解：∵△APC≌△DPB，
∴∠PAC=∠PDB，
∴∠OAD+∠ODA，
=∠OAD+∠PDA+∠PDB，
=∠OAD+∠PDA+∠PAC，
=∠PAD+∠PDA，
=60°+60°，
=120°，
在△AOD中，∠DOA=180°-（∠OAD+∠ODA）=180°-120°=60°；

（3）AC=BD且AC⊥BD．
理由如下：∵四邊形AEDP和四邊形BPCF是正方形，
∴AP=DP，PB=PC，∠APD=∠DPB=90°，
在△APC和△DPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=DP}\\{∠APD=∠DPB=90°}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC=BD，∠PCA=∠PBD，
延長AC與BD相交于點H，
則∠PAC+∠PBD=∠PAC+∠PCA=90°，
在△AHB中，∠AHB=180°-（∠PAC+∠PBD）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BD，
綜上所述，AC=BD且AC⊥BD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖求出∠APC=∠DPB是解題的關(guān)鍵，此類題目，圖形變化后的思路相同．