Question

16．如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8．點(diǎn)E為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠EOF=∠DAC，點(diǎn)E、F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為G、H．
（1）求證：△AOE∽△CFO；
（2）若線段AE=x，四邊形AGOE與四邊形CHOF的面積和為S．
①求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
②當(dāng)S=$\frac{72}{5}$時(shí)，線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=CD得到∠DAC=∠DCA，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到∠FOC=∠AEO，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO=3，BO=4，由勾股定理得到AD=CD=5，過(guò)O作OM⊥AD，ON⊥CD，根據(jù)三角形的面積公式得到OM=ON=$\frac{12}{5}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CF=$\frac{9}{x}$，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到S_△AOG=S_△AOE，S_△COH=S_△COF，于是得到結(jié)論；②當(dāng)S=$\frac{72}{5}$時(shí)，求得x=3，得到AE=CF=3，DE=DF=2，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即刻得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，
∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠EOF=∠DAC，
∴∠AEO=180°-∠EAO-∠AOE，∠FOC=180°-∠AOE-∠EOF，
∴∠FOC=∠AEO，
∴△AOE∽△CFO；

（2）解：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8，
∴AO=3，BO=4，
∴AD=CD=5，
過(guò)O作OM⊥AD，ON⊥CD，
∴OM=ON=$\frac{12}{5}$，
∵△AOE∽△CFO，
∴$\frac{AE}{OC}=\frac{AO}{CF}$，
∴CF=$\frac{9}{x}$，
∵點(diǎn)E、F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為G、H，
∴S_△AOG=S_△AOE，S_△COH=S_△COF，
∵①S_△AOE=$\frac{6}{5}$x，S_△COF=$\frac{54}{5x}$，
∴S=$\frac{12}{9}$（$\frac{9}{x}$+x）（$\frac{9}{5}≤x≤5$），
②當(dāng)S=$\frac{72}{5}$時(shí)，x=3，
∴AE=CF=3，DE=DF=2，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{DF}{CD}$，∠ADC=∠EDF，
∴△DEF∽△ADC，
∴$\frac{EF}{6}=\frac{2}{5}$，
∴EF=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．