Question

3．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．已知AC=9，cosC=$\frac{3}{5}$．
（1）求線段AE的長；
（2）求sin∠DAE的值．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△ABC中利用∠C的余弦計(jì)算出BC=15，然后根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)求AE；
（2）先在Rt△ADC中利用∠C的余弦計(jì)算出CD=$\frac{27}{5}$，則可得到DE=CE-CD=$\frac{21}{10}$，然后在Rt△ADE中利用正弦的定義求解．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=$\frac{5}{3}$×9=15，
∵點(diǎn)E是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{2}$；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
在Rt△ADC中，∵cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{3}{5}$×9=$\frac{27}{5}$，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{2}$，
∴DE=CE-CD=$\frac{15}{2}$-$\frac{27}{5}$=$\frac{21}{10}$，
在Rt△ADE中，sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\frac{21}{10}}{\frac{15}{2}}$=$\frac{7}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．靈活由于勾股定理、互余關(guān)系和三角函數(shù)關(guān)系．