Question

14．（1）敘述三角形中位線定理，并運(yùn)用平行四邊形的知識證明；
（2）運(yùn)用三角形中位線的知識解決如下問題：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)，求證：EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）

Answer 1

分析 （1）作出圖形，然后寫出已知、求證，延長EF到D，使FD=EF，利用“邊角邊”證明△AEF和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行判斷出AB∥CD，然后判斷出四邊形BCDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DE∥BC，DE=BC．
（2）連接AF并延長，交BC延長線于點(diǎn)M，根據(jù)ASA證明△ADF≌△MCF，判斷EF是△ABM的中位線，根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論．

解答 （1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
已知：△ABC中，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，
求證：EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
證明：如圖，延長EF到D，使FD=EF，
∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
∴AF=CF，
在△AEF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FC}\\{∠AFE=∠CFD}\\{EF=FD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=CD，∠D=∠AEF，
∴AB∥CD，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴BE=CD，
∴BE$\stackrel{∥}{=}$CD，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC．
證明：連接AF并延長，交BC延長線于點(diǎn)M，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCM，
∵F是CD中點(diǎn)，
∴DF=CF，
在△ADF和△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCM}\\{DF=CF}\\{∠AFD=∠MFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴AF=FM，AD=CM，
∴EF是△ABM的中位線，
∴EF∥BC∥AD，EF=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

點(diǎn)評 本題實(shí)際上考查了梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．其中利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，準(zhǔn)確作出輔助線是解題關(guān)鍵．