Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，不經(jīng)過原點的直線與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于點A（m，3），B（-2，n），其中m＞0，n＜0
（1）求m與n之間的數(shù)量關系；
（2）若OA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$OB，求該雙曲線和直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）把點A（m，3），B（-2，n）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，即可得到結(jié)論；
（2）由點A（m，3），B（-2，n），得到OA²=m²+9=$\frac{4}{9}$n²+9，OB²=n²+4，根據(jù)已知條件得到$\frac{4}{9}$n²+9=$\frac{5}{8}$（n²+4），求得n=-6，m=4，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A（m，3），B（-2，n）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴3m=-2n，
∴m=-$\frac{2}{3}$n；
（2）∵點A（m，3），B（-2，n），
∴OA²=m²+9=$\frac{4}{9}$n²+9，OB²=n²+4，
∵OA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$OB，
∴OA²=$\frac{5}{8}$OB²，
即：$\frac{4}{9}$n²+9=$\frac{5}{8}$（n²+4），
∴n=±6，
∵n＜0，
∴n=-6，
∴m=4，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$，
設直線的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{-6=-2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-3．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解題的關鍵是熟練運用待定系數(shù)法，本題屬于中等題型．