Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于點(diǎn)A（m，2），B（n，-1），其中m＞0，n＜0．
（1）求m與n之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）若OA=OB，求該雙曲線和直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出m與n之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)題意和勾股定理即可得到關(guān)于m的方程，解方程求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（m，2），B（n，-1）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2m=-n，
即n=-2m；
（2）∵OA=OB，點(diǎn)A（m，2），B（-2m，-1），
∴OA²=OB²，即m²+2²=（-2m）²+（-1）²，
解得m₁=1，m₂=-1（舍去），
∴A（1，2），B（-2，-1），
∴k=1×2=2，
∴所求雙曲線的解析式為y=$\frac{2}{x}$，
設(shè)所求的直線的解析式為y=kx+b，
把A、B的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{-1=-2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴所求的直線的解析式為y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得A、B的坐標(biāo)．