Question

9．已知：在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、C分別在y軸、x軸上，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如圖1，當A（0，-3），C（1，0），點B在第四象限時，則點B的坐標為（4，-1）；
（2）如圖2，當點C在x軸正半軸上運動，點A在y軸正半軸上運動，點B在第四象限時，作BD⊥y軸于點D，試判斷$\frac{OC+BD}{OA}$與$\frac{OC-BD}{OA}$哪一個是定值，并說明定值是多少？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）過B作BE⊥x軸于E，推出∠2=∠OAC，∠AOC=∠BEC，根據(jù)AAS證△AOC≌△CEB，推出OA=CE，OC=BE，根據(jù)A、C的坐標即可求出答案；
（2）作BE⊥x軸于E，得出矩形OEBD，推出BD=OE，證△CEB≌△AOC，推出AO=CE，求出OC-BD=OA，代入求出即可．

解答 （1）解：如圖1，過B作BE⊥x軸于E，
則∠BEC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠OAC=90°，
∴∠2=∠OAC，
在△AOC和△CEB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠CEB}\\{∠OAC=∠2}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△CEB（AAS），
∴OA=CE，OC=BE，
∵A（0，-3），C（1，0），
∴OA=CE=3，OC=BE=1，
∴OE=1+3=4，
∴點B的坐標為（  4，-1 ），
故答案為；4；

（2）結(jié)論：$\frac{OC-BD}{OA}$=1，
證明：如圖2，作BE⊥x軸于E，
∴∠1=90°=∠2，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠5+∠3=90°，
∴∠5=∠4，
在△CEB和△AOC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠4=∠5}\\{CB=AC}\end{array}\right.$
∴△CEB≌△AOC，
∴AO=CE，
∵BE⊥x軸于E，
∴BE∥y軸，
∵BD⊥y軸于點D，EO⊥y軸于點O，
∴BD∥OE，
∴四邊形OEBD是矩形，
∴EO=BD，
∴OC-BD=OC-EO=CE=AO，
∴$\frac{OC-BD}{OA}$=1．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，主要考查學生運用定理進行推理和計算，題目比較好．